一道概率难题：一颗骰子连续掷4次,点数总和记为ξ.请运用切贝谢夫大数定律估计概率P(10＜ξ＜18).答案是P(10＜ξ＜18)≥0.27

Question

一道概率难题：一颗骰子连续掷4次,点数总和记为ξ.请运用切贝谢夫大数定律估计概率P(10＜ξ＜18).
答案是P(10＜ξ＜18) ≥ 0.27

Answer 1

【分析】切贝谢夫大数定律：
设ξ1,ξ2,……是相互独立的随机变量序列,各有数学期望Eξ1,Eξ2,……及方差Dξ1,Dξ2,……并且对于所有i=1,2,……都有Dξi＜L,其中L是与i无关的常数.则对于任意正数ε,恒有
P{ | ξ - Eξ | ≥ ε} ≤ Dξ/ε²
P{ | ξ - Eξ | ＜ ε} ≥ 1 - Dξ/ε²
其中,Eξ = ΣEξi,Dξ = ΣDξi
【解】设ξi为第i次掷的点数,其中i=1,2,3,4
根据随机试验的特点,ξ1,ξ2,ξ3,ξ4 相互独立,且有ξ = ξ1+ξ2+ξ3+ξ4
而,Eξi = (1+2+3+4+5+6)/6 = 7/2
Eξi² = (1²+2²+3²+4²+5²+6²)/6 = 91/6
则,Dξi = Eξi² - (Eξi)² = 91/6 - (7/2)² = 35/12
∴Eξ = ΣEξi = 4*(7/2) = 14
Dξ = ΣDξi = 4*(35/12) = 35/3
根据切贝谢夫大数定律,有
P(10＜ξ＜18) = P( | ξ - 14 | ＜4 )
= P( | ξ - Eξ | ＜ 4 ) ≥ 1 - Dξ/4² = 1 - (35/3)/4² ≈ 0.27