如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，过点D作AC的垂线，垂足为F，与AB相交于点E，连接CE．（1）说明：AE=CE=BE；（2）若AB=15cm，P是直线DE上的一点．则当P在何处时，PB

Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，过点D作AC的垂线，垂足为F，与AB相交于点E，连接CE．

（1）说明：AE=CE=BE；
（2）若AB=15cm，P是直线DE上的一点．则当P在何处时，PB+PC最小，并求出此时PB+PC的值．

Answer 1

（1）证明：在等边三角形ADC中，
∵DF⊥AC，
∴DF垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴∠ACE=∠CAE（等边对等角）；
∵∠ACB=90°（已知），
∴∠ACE+∠BCE=∠CAE+∠B=90°，
∴∠BCE=∠B，
∴CE=BE（等角对等边），
∴AE=CE=BE；
（2）由（1）知，DE垂直平分AC，
∴PC=PA，
∴PB+PC=PB+PA；
∴当PB+PC最小时，也就是PB+PA最小，即点P、B、A在同一直线上最小，所以点P在E处时最小．
当点P在E处时，PB+PC=EB+EC=EB+EA=AB=15cm．