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已知△ABC,取三边中点,连接三个中点构成第一个中点三角形,再取第一个中点三角形三边中点,连接三个中点得到第二个中点三角形…依此类推,当得到第n个中点三角形时,所有这些三角

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已知△ABC,取三边中点,连接三个中点构成第一个中点三角形,再取第一个中点三角形三边中点,连接三个中点得到第二个中点三角形…依此类推,当得到第n个中点三角形时,所有这些三角形都相似,此时第n个中点三角形与△ABC周长的比是 ___ ,面积的比是 ___ .
▼优质解答
答案和解析
因为第一个中点三角形与△ABC相似,所以根据三角形中位线定理得到相似比是
1
2
,面积的比是相似比的平方是
1
4
.则第一个中点三角形的周长是△ABC的周长的
1
2
,同理,第二个中点三角形的周长是第一个的
1
2
,即△ABC的周长的
1
22
,第三个是△ABC的周长的
1
23
;第n个是与△ABC周长的比
1
2n
;同理,面积的比是
1
22n
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