已知△ABC，取三边中点，连接三个中点构成第一个中点三角形，再取第一个中点三角形三边中点，连接三个中点得到第二个中点三角形…依此类推，当得到第n个中点三角形时，所有这些三角

Question

已知△ABC，取三边中点，连接三个中点构成第一个中点三角形，再取第一个中点三角形三边中点，连接三个中点得到第二个中点三角形…依此类推，当得到第n个中点三角形时，所有这些三角形都相似，此时第n个中点三角形与△ABC周长的比是 ___ ，面积的比是 ___ ．

Answer 1

因为第一个中点三角形与△ABC相似，所以根据三角形中位线定理得到相似比是(1)/(2)，面积的比是相似比的平方是(1)/(4)．则第一个中点三角形的周长是△ABC的周长的(1)/(2)，同理，第二个中点三角形的周长是第一个的(1)/(2)，即△ABC的周长的(1)/(22)，第三个是△ABC的周长的(1)/(23)；第n个是与△ABC周长的比(1)/(2n)；同理，面积的比是(1)/(22n)．