已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=an+an+12，n∈N*．（1）令bn=an+1-an，证明：{bn}是等比数列；（2）求{an}的通项公式．

Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+2=(an+an+1)/(2)，n∈N^*．
（1）令b_n=a_n+1-a_n，证明：{b_n}是等比数列；
（2）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

（1）证b₁=a₂-a₁=1，
当n≥2时，bn＝an+1−an＝(an−1+an)/(2)−an＝−(1)/(2)(an−an−1)＝−(1)/(2)bn−1，
所以{b_n}是以1为首项，−(1)/(2)为公比的等比数列．
（2）解由（1）知bn＝an+1−an＝(−(1)/(2))n−1，
当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-a_n-1）=1+1+（-(1)/(2)）+…+(−(1)/(2))n−2
=1+(1−(−(1)/(2))n−1)/(1−(−(1)/(2)))=1+(2)/(3)[1−(−(1)/(2))n−2]=(5)/(3)−(2)/(3)(−(1)/(2))n−1，
当n=1时，(5)/(3)−(2)/(3)(−(1)/(2))1−1＝1＝a1．
所以an＝(5)/(3)−(2)/(3)(−(1)/(2))n−1(n∈N*)．