若x+y=a+b,且x^2+y^2=a^2+b^2.求证:x^1997+y^1997=a^1997+b^1997.帮帮我啊要详细的过程

Question

若x+y=a+b,且x^2+y^2=a^2+b^2.求证:x^1997+y^1997=a^1997+b^1997. 帮帮我啊
要详细的过程

Answer 1

很简单的,用归纳法就可以证,证明x^n+y^n=a^n+b^n即可,n为任意正整数.先把x+y=a+b两边平方,又有x^2+y^2=a^2+b^2,得出xy=ab,然后设x^n+y^n=a^n+b^n成立,来证明x^（n+1)+y^(n+1)=a^(n+1)+b^(n+1).事实上,把（x+y)^(n+1)=（a+b）^(n+1)两边用二项式展开,会发现
同系数的x、y那边和a、b那边是两两相等的（注意用前提已假设x^n+y^n=a^n+b^n),由此得（x+y)^(n+1)=（a+b）^(n+1),因此由归纳法得x^n+y^n=a^n+b^n成立,自然x^1997+y^1997=a^1997+b^1997也成立啦.