已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证：（1/a-1）（1/b-1）（1/c-1）>=8

Question

已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证：（1/a-1）（1/b-1）（1/c-1）>=8

Answer 1

∵（1/a-1)
=(1-a)/a
=(a+b+c-a)/a
=(b+c)/a
又(√b-√c)^2≥0
b+c≥2√(bc)
∴（1/a-1)=(b+c)/a≥2√(bc)/a
同理
(1/b-1)≥2√(ac)/b
(1/c-1)≥2√(ab)/c
故(1/a-1)*(1/b-1)*(1/c-1)≥[2√(bc)/a]*[2√(ac)/b]*[2√(ab)/c]
=8 √[(a^2)*(b^2)8(c^2)]/(abc)
=8