已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b-a=c-b=1且C=2A,求cosC的值?我先用a来表示b和c,代入2cosA=cosC,得到一个高次方程,不知道这个方程怎么解.后来换用b表示a和c,再代入2cosA=cosC,得到的高

Question

已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b-a=c-b=1且C=2A,求cosC的值?
我先用a来表示b和c,代入2cosA=cosC,得到一个高次方程,不知道这个方程怎么解.后来换用b表示a和c,再代入2cosA=cosC,得到的高次方程仍然不知道如何解.求吴老赐教,

Answer 1

2cosA=cosC是什么的?
∵C=2A
那么sinC=sin2A
sinC=2sinAcosA
根据正弦定理
c=2acosA （*）
根据余弦定理：
cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
代入 （*）
所以 bc^2=a(b^2+c^2-a^2)
==>bc^2-ac^2=a（b^2-a^2）
==> (b-a)c^2=a(b+a)(b-a)
又b-a=c-b=1 ==> a=b-1,c=b+1
∴c^2=ab+a^2
(b+1)^2=(b-1)b+(b-`1)^2
∴b^2-5b=0
所以b=5,a=4,c=6
cosC=（a^2+b^2-c^2)/(2ab)
=(16+25-36)/(2*4*5)
=1/8