证明：若An单调增加,Bn单调减少,lim(Bn-An)=0,则An,Bn都收敛,且limAn=limBn

Question

证明：若An单调增加,Bn单调减少,lim(Bn-An)=0,则An,Bn都收敛,且limAn=limBn

Answer 1

因为lim(Bn-An)=0（n→无穷）,故{Bn-An}有界,Bn-An≥M（M为下界）,Bn≥An+M≥A1+M,所以,{Bn}单调减小且有下界,{Bn}存在极限
同理,Bn-An≥M（M为下界）,An≤Bn-M≤B1-M,故,｛An｝单调增大且有上界,｛An｝存在极限
所以,可以运用极限的四则运算,因为lim(Bn-An)=0（n→无穷）,所以limBn-limAn=0（n→无穷）,所以limBn=limAn.

注意：limAn,limBn二者存在性尚未证明之前,不能运用运算法则

参考网址：http://zhidao.baidu.com/question/321825547
http://wangming.pai-hang-bang.com/name-119038261.html