根据卡尔丹的《大术》三次方程的求根公式（三个根的）

Question

根据卡尔丹的《大术》 三次方程的求根公式（三个根的）

Answer 1

1．卡尔丹公式法
　　特殊型一元三次方程X^3＋pX＋q=0 ,(p、q∈R) .
　　判别式Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3 .
【卡尔丹公式】
　　X1=(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3)；
　　X2= (Y1)^(1/3)ω＋(Y2)^(1/3)ω^2；
　　X3=(Y1)^(1/3)ω^2＋(Y2)^(1/3)ω,
　　其中ω=(－1＋i3^(1/2))/2；Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2＋(p/3)^3)^(1/2).标准型一元三次方程aX ^3＋bX ^2＋cX＋d=0 ,（a,b,c,d∈R,且a≠0）.
　　令X=Y—b/(3a)代入上式,
　　可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3＋pY＋q=0.
【卡尔丹判别法】
　　当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3>0时,方程有一个实根和一对共轭虚根；
　　当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3=0时,方程有三个实根,其中有一个两重根；
　　当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^30时,盛金公式②：
　　X⑴=(－b－Y⑴^(1/3)－Y⑵^(1/3))/(3a)；
　　X(2,3)=(－2b＋Y⑴^(1/3)＋Y⑵^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)(Y⑴^(1/3)－Y⑵^(1/3))/(6a)；
　　其中Y(1,2)=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2,i^2=－1.
当Δ=B^2－4AC=0时,盛金公式③：
　　X⑴=－b/a＋K；X⑵=X3=－K/2,
　　其中K=B/A,(A≠0).
当Δ=B^2－4AC0,－1＜T＜1) 【盛金判别法】
　　①：当A=B=0时,方程有一个三重实根；
　　②：当Δ=B^2－4AC>0时,方程有一个实根和一对共轭虚根；
　　③：当Δ=B^2－4AC=0时,方程有三个实根,其中有一个两重根；
　　④：当Δ=B^2－4AC