如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A在x轴上，点B在y轴上，且OA=3，OB=4，反比例函数y=kx（k≠0）在第一象限的图象经过正方形的顶点D．（1）求反比例函数的关系式；（2）求

Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A在x轴上，点B在y轴上，且OA=3，OB=4，反比例函数y=(k)/(x)（k≠0）在第一象限的图象经过正方形的顶点D．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）求将正方形ABCD沿x轴向左平移多少个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上；
（3）若点E是线段OA上一动点，点F是线段OB上一动点，是否存在直线EF将Rt△ABO的周长和面积同时平分？若存在这样的直线EF，则求出线段EF的长；若不存在这样的直线EF，请说明理由．

Answer 1

解：（1）作DH⊥x轴于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAO+∠DAH=90°，
而∠BAO+∠OBA=90°，
∴∠OBA=∠DAH，
在△ABO和△DAH中，

∠AOB＝∠DHA

∠OBA＝∠HAD

AB＝DA

，
∴△ABO≌△DAH（AAS），
∴AH=OB=4，DH=OA=3，
∴OH=OA+AH=3+4=7，
∴D点坐标为（7，3），
∴k=7×3=21，
∴反比例函数解析式为y=(21)/(x)；
（2）作CG⊥y轴于G，CG交反比例函数图象于P点，如图，
与（1）的方法一样可证明△ABO≌△BCG，
∴BG=OA=3，CG=OB=4，
∴OG=7，
∴C点坐标为（4，7），
把y=7代入y=(21)/(x)得x=3，
∴P点坐标为（3，7），
∴PC=CG-PG=4-3=1，
∴将正方形ABCD沿x轴向左平移1个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上；
（3）不存在．
设E（m，0），F（0，n），即OE=m，OF=n，则EF=√(m2+n2)，
在Rt△OAB中，OA=3，OB=4，
∴AB=√(OA2+OB2)=5，
∴△ABC的周长=3+4+5=12，△ABC的面积=(1)/(2)×3×4=6，
∵直线EF将Rt△ABO的周长和面积同时平分，
∴n=3+(1)/(2)m，(1)/(2)mn=3，即mn=6，
∴EF=√(m2+n2)=

作业帮用户 2017-10-01

问题解析

（1）作DH⊥x轴于H，根据正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，再利用等角的余角相等得到∠OBA=∠DAH，则可根据“AAS”证明△ABO≌△DAH，所以AH=OB=4，DH=OA=3，得到D点坐标为（7，3），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算出k=21，即可得到反比例函数解析式为y=(21)/(x)；
（2）作CG⊥y轴于G，CG交反比例函数图象于P点，用同样的方法可证明△ABO≌△BCG，得到BG=OA=3，CG=OB=4，则C点坐标，再利用反比例函数解析式确定P点坐标，则PC=CG-PG，于是将正方形ABCD沿x轴向左平移PC个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上；
（3）设E（m，0），F（0，n），即OE=m，OF=n，则EF=√(m2+n2)，在Rt△OAB中，根据勾股定理计算出AB=5，则△ABO的周长=12，△ABO的面积=6，由于直线EF将Rt△ABO的周长和面积同时平分，所以m+n=6，(1)/(2)mn=3，即mn=6，利用完全平方公式把EF=√(m2+n2)变形为EF=√((m+n)2−2mn)，然后利用整体代入的方法进行计算．

名师点评

本题考点：

反比例函数综合题．

考点点评：

本题考查了圆的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质；会运用全等三角形的判定与性质解决线段相等的问题；会利用完全平方公式进行代数式变形．

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