F1、F2是双曲线x^2/9^-y^2/16=1的两个焦点,P在双曲线上满足|PF1|*|PF2|=32,则角F1PF2是多少?

Question

F1、F2是双曲线x^2/9^-y^2/16=1的两个焦点,P在双曲线上满足|PF1|*|PF2|=32,则角F1PF2是多少?

Answer 1

双曲线x/²9-y²/16=1的焦距 c= 根号（9+16）=5,
两个焦点坐标分别为F1（-5,0), F2（5,0）,|F1F2|=10,
双曲线上一点P,|PF1|*|PF2|=32,则：在三角形F1PF2中,
cosF1PF2=(|PF1|²+|PF2|²-|F1F2|²) / 2|PF1|*|PF2|,（根据余弦定理）
又||PF1|-|PF2||=2a=6,故 (|PF1|-|PF2|)²=36,
即|PF1|²+|PF2|²2|PF1|*|PF2|=36,|PF1|²+|PF2|²=100.
所以cosF1PF2=0.
故∠F1PF2=90度.