设函数f(x)=1/x,g(x)=-x^2+bx,有且仅有两个不同公共点A(x1,y1),B(x2,y2).证x1+x2>0,y1+y2

Question

设函数f(x)=1/x,g(x)=-x^2+bx ,有且仅有两个不同公共点A(x1,y1),B(x2,y2).证x1+x2>0,y1+y2

Answer 1

令f（x）=g（x）,1/x=-x²+bx,即x³-bx²+1=0(x≠0）,
显然x=0不是上面3次方程的根,那么该方程应该有1个或者3个实数解（若存在虚数解,虚数解是成对出现的）,又只有两个公共点,那么有重根,假设x2是重根
那么3次方程等价于 （x-x1）（x-x2）²=0, 即x³-（x1+2x2）x²+（2x1x2+x2²）x-x1x2²=0
所以 x1+2x2=b, 2x1x2+x2²=0, -x1x2²=1
所以 x2（2x1+x2）=0 因为x2≠0,所以2x1+x2=0
又x1=-1/x2², 所以x1＜0
所以 x1+x2＜x1+x1+x2=2x1+x2=0
所以 x2＞x1+x2＞0, 所以 x1x2＜0
y1+y2=1/x1+1/x2=（x1+x2）/（x1x2）
分子＞0.分母＜0
所以y1+y2＜0