（2003•广东）如图：在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点．（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系；（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN=BM，请判断△O

Question

（2003•广东）如图：在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点．
（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系；
（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论．

Answer 1

（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O为BC的中点，
∴OA=(1)/(2)BC=OB=OC，
即OA=OB=OC；

（2）△OMN是等腰直角三角形．理由如下：
连接AO
∵AC=AB，OC=OB
∴OA=OB，∠NAO=∠B=45°，
在△AON与△BOM中

AN＝BM

∠NAO＝∠B

OA＝OB

∴△AON≌△BOM（SAS）
∴ON=OM，∠NOA=∠MOB
∴∠NOA+∠AOM=∠MOB+∠AOM
∴∠NOM=∠AOB=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形． (1)/(2)111222BC=OB=OC，
即OA=OB=OC；

（2）△OMN是等腰直角三角形．理由如下：
连接AO
∵AC=AB，OC=OB
∴OA=OB，∠NAO=∠B=45°，
在△AON与△BOM中

AN＝BM

∠NAO＝∠B

OA＝OB

∴△AON≌△BOM（SAS）
∴ON=OM，∠NOA=∠MOB
∴∠NOA+∠AOM=∠MOB+∠AOM
∴∠NOM=∠AOB=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形．

AN＝BM

∠NAO＝∠B

OA＝OB

AN＝BM

∠NAO＝∠B

OA＝OB

AN＝BM

∠NAO＝∠B

OA＝OB

AN＝BM

∠NAO＝∠B

OA＝OB

AN＝BMAN＝BMAN＝BM∠NAO＝∠B∠NAO＝∠B∠NAO＝∠BOA＝OBOA＝OBOA＝OB
∴△AON≌△BOM（SAS）
∴ON=OM，∠NOA=∠MOB
∴∠NOA+∠AOM=∠MOB+∠AOM
∴∠NOM=∠AOB=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形．