已知直线l：x-ky+2√2,圆C：x^2+y^2=4.（注：“2√2为2”为2乘以根号2,“x^2”为2的平方.）l与圆相交于A、B两点,设△ABC的面积为S,求k关于S的函数S(k)的表达式,并求k的定义域.这个方法我也想过，

Question

已知直线l：x-ky+2√2 ,圆C：x^2+y^2=4 .（注：“2√2为2”为2乘以根号2,“x^2”为2的平方.）
l与圆相交于A、B两点,设△ABC的面积为S,求k关于S的函数S(k)的表达式,并求k的定义域.
这个方法我也想过，但是还有别的方法吗，如果没有，让我看看和我的是不是相同。

Answer 1

过C作CH垂直AB于H C(0,0)
根据点到直线的距离公式得到CH=2√2/(1+k^2)
设A(x1,y1),B(x2,y2)
联立直线与圆的方程并由两点间距离公式,伟达定理得
(1+k^2)y^2-4√2*ky+4=0
y1+y2=(4√2k)/(1+k^2)
y1*y2=4/(1+k^2)
x1-ky1+2√2=0
x2-ky2+2√2=0
(y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2=[16(k^2-1)]/(1+k^2)^2
(x1-x2)^2=[k(y1-y2)]^2=[16k^2(k^2-1)]/(1+k^2)^2
AB=√(y1-y2)^2+(x1-x2)^2=[4√(k^4-1)]/(1+k^2)
SABC=(1/2)*CH*AB
=[4√(2k^4-2)]/(1+k^2)^(3/2)=s(k)
2k^4-2>(=)0
k>(=)1 或k0 -2^(7/4)