已知方程x2-ax+4a=0．（1）若方程有两个相异的正根，求a的取值范围；（2）两根为x1，x2，-1<x1<0<x2<1，求a的取值范围；（3）若a>0，且方程仅有整数根，求a和根的值．

Question

已知方程x²-ax+4a=0．
（1）若方程有两个相异的正根，求a的取值范围；
（2）两根为x₁，x₂，-1<x₁<0<x₂<1，求a的取值范围；
（3）若a>0，且方程仅有整数根，求a和根的值．

Answer 1

（1）由题意得：

△=a2-16a>0

x1+x2=a>0

x1•x2=4a>0

，
解得：a>16；

（2）设f（x）=x²-ax+4a，
∵方程x²-ax+4a=0的两根x₁、x₂满足-1<x₁<0<x₂<1，
∴

△=a2-16a>0

f(-1)=1+a+4a>0

f(0)=4a<0

f(1)=1-a+4a>0

，
解得：-(1)/(3)<a<0；

（3）设两整数根为x，y，则 x+y=a>0，xy=4a>0，
∴a=(x2)/(x-4)，
∵a是正实数，
∴(x2)/(x-4)>0，由于x²≥0，（而a是正实数）
∴x-4>0，即x>4，
而x是整数，
∴x最小取5．
又∵原方程有根，
∴△=b²-4ac=a²-4×1×4a=a²-16a≥0，
∵a是正实数，
∴a≥16，
∴当x=5时，a=25，y=20；
当x=6时，a=18，y=12；
当x=7时，a=(49)/(3)，y=(28)/(3)（y不是整数，故舍去）；
当x=8时，a=16，y=8．
于是a=25或18或16均为所求．