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设曲线L位于平面xOy的第一象限内,L上任一点M处的切线与y轴总相交,交点记为A.已知|.MA|=|.OA|且L过点(32,32),求L的方程.
题目详情
设曲线L位于平面xOy的第一象限内,L上任一点M处的切线与y轴总相交,交点记为A.已知|
|=|
|且L过点(
,
),求L的方程.
. |
MA |
. |
OA |
3 |
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▼优质解答
答案和解析
设点M的坐标为(x,y),则切线MA的方程为:
Y-y=y′(X-x),
令:X=0,则:Y=y-xy′,
故:点A的坐标为(0,y-xy′),
由已知:|
|=|
|,
有:
|y−xy′|=
,
化简得:
2yy′−
y2=−x,
令:z=y2,得:
−
=−x,
解得:z=x(-x+c),其中c为任意的常数,
从而:y2=-x2+cx,
根据所求的曲线在第一象限内,
∴y=
,
又点(
,
)在曲线上,
带入得:c=3,
所以曲线L方程为:
y=
,(0<x<3).
设点M的坐标为(x,y),则切线MA的方程为:
Y-y=y′(X-x),
令:X=0,则:Y=y-xy′,
故:点A的坐标为(0,y-xy′),
由已知:|
. |
MA |
. |
OA |
有:
|y−xy′|=
x2+(y−y+xy′)2 |
化简得:
2yy′−
1 |
x |
令:z=y2,得:
dz |
dx |
z |
x |
解得:z=x(-x+c),其中c为任意的常数,
从而:y2=-x2+cx,
根据所求的曲线在第一象限内,
∴y=
cx−x2 |
又点(
3 |
2 |
3 |
2 |
带入得:c=3,
所以曲线L方程为:
y=
3x−x2 |
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