设曲线L位于平面xOy的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记为A．已知|.MA|=|.OA|且L过点（32，32），求L的方程．

Question

设曲线L位于平面xOy的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记为A．已知|

.

MA

|=|

.

OA

|且L过点（(3)/(2)，(3)/(2)），求L的方程．

Answer 1

设点M的坐标为（x，y），则切线MA的方程为：
Y-y=y′（X-x），
令：X=0，则：Y=y-xy′，
故：点A的坐标为（0，y-xy′），
由已知：|

.

MA

|＝|

.

OA

|，
有：
|y−xy′|＝√(x2+(y−y+xy′)2)，
化简得：
2yy′−(1)/(x)y2＝−x，
令：z=y²，得：
(dz)/(dx)−(z)/(x)＝−x，
解得：z=x（-x+c），其中c为任意的常数，
从而：y²=-x²+cx，
根据所求的曲线在第一象限内，
∴y＝√(cx−x2)，
又点((3)/(2)，(3)/(2))在曲线上，
带入得：c=3，
所以曲线L方程为：
y＝√(3x−x2)，(0＜x＜3)．