边长为1的正方形内,任意给定9个点,证明:以这些点为顶点的三角形中,必有一个三角形的面积不大于1/8

Question

边长为1的正方形内,任意给定9个点,证明:以这些点为顶点的三角形中,必有一个三角形的面积不大于1/8

Answer 1

抽屉原理...
证明
用对边中点的联线将正方形分成四个面积均为 的小正方形,由于是9个点分布在四个小正方形内,则至少有一个小正方形的内部或边界上,至少有三个给定的点(如图),设这三个点为A、B、C,本题只须证明,△ABC的面积不大于小正方形(面积为 )的面积的一半.
现在分几种情况加以讨论.
(1)如果点A、B、C在同一条直线上,则△ABC的面积为O,结论显然成立；
(2)如果△ABC中,有一边平行于小正方形的一边,则结论也显然成立；
(3)如果△ABC的三边都不平行于这个小正方形,那么过这三个顶点,作三条直线平行于这个小正方形的一条边(如图),由于△ABC三边与小正方形的边不平行,则必有一边与这三条直线中的一条相交,不妨设GH交AC于D,则：
S△ABC=S△ABD+S△BDC≤ S矩形GHFE+ S矩形GHJI
= (GH•FH+GH•HJ)≤ • =
记住
本题也可以把正方形等分成4个面积为 的小矩形,以这4个小矩形做抽屉,已知9点至少有三点在同一个小矩形的内部或边界上,再证明这三点组成的三角形的面积不大于小矩形面积的一半.