如图，CE是O的直径，BD切O于点D，DE∥BO，CE的延长线交BD于点A．（1）求证：直线BC是O的切线；（2）若AE=2，tan∠DEO=2，求AO的长．

Question

如图，CE是 O的直径，BD切 O于点D，DE∥BO，CE的延长线交BD于点A．

（1）求证：直线BC是 O的切线；
（2）若AE=2，tan∠DEO=√(2)，求AO的长．

Answer 1

（1）连接OD，
∵DE∥BO，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∵OD=OE，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
在△DOB与△COB中，

OD=OC

∠1=∠2

OB=OB

，
∴△DOB≌△COB，
∴∠OCB=∠ODB，
∵BD切 O于点D，
∴∠ODB=90°，
∴∠OCB=90°，
∴AC⊥BC，
∴直线BC是 O的切线；

（2）∵∠DEO=∠2，
∴tan∠DEO=tan∠2=√(2)，
设；OC=r，BC=√(2)r，
由（1）证得△DOB≌△COB，
∴BD=BC=√(2)r，
由切割线定理得：AD²=AE•AC=2（2+2r），
∴AD=2√(1+r)，
∵DE∥BO，
∴(AD)/(BD)=(AE)/(OE)，
∴(2√(1+r))/(√(2)r)=(2)/(r)，
∴r=1，
∴AO=3．