（2011•徐汇区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=6，AD=3．点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，连接EF．（1）求证：△MEF∽△BEM；（2）若△

Question

（2011•徐汇区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=6，AD=3．点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，连接EF．
（1）求证：△MEF∽△BEM；
（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；
（3）若EF⊥CD，求BE的长．

Answer 1

证明：（1）在梯形ABCD中，
∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠B=∠C，（1分）
∵∠BMF=∠EMB+∠EMF=∠C+∠MFC，
又∵∠EMF=∠B，
∴∠EMB=∠MFC，（1分）
∴△EMB∽△MFC，
∴(EB)/(EM)＝(MC)/(MF)，（1分）
∵MC=MB，
∴(EB)/(EM)＝(MB)/(MF)，
又∵∠EMF=∠B，
∴△MEF∽△BEM；（1分）

（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，则有两种情况：
①BM=ME，那么根据△MEF∽△BEM，
∴(EF)/(ME)=(MF)/(BM)，
∴(BM)/(ME)=(MF)/(EF)，即EF=MF
根据第（1）问中已证△BME∽△MFC，
∴(BM)/(ME)=(MF)/(FC)，即MF=FC，
∴∠FMC=∠C，
又∵∠B=∠C，
∴∠FMC=∠B，
∴MF∥AB
延长BA和CD相交于点G，又点M是BC的中点，
∴MF是△GBC的中位线，
∴MF=(1)/(2)GB，
又∵AD∥BC，
∴△GAD∽△GBC，
∴(AG)/(GB)=(AD)/(BC)=(3)/(6)=(1)/(2)，
∴(AB)/(AG)=1，即AG=AB=6，
∴GB=12，
∴MF=EF=6
②BM=BE=3，
∴点E是AB的中点，又△MEF∽△BEM，
∴(BM)/(BE)=(MF)/(ME)=1，即MF=ME，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF=(1)/(2)（AD+BC）=(1)/(2)（3+6）=(9)/(2)；

（3）∵EF⊥CD，
∴∠EFC=90°，△MEF∽△BEM，∠MFE=∠MFC=∠BME=45°，
解一：过点E作EH⊥BC，则可得△EHM等腰直角三角形，
故EH=MH，
设BE=x，则BH=(1)/(4)x，EH=MH=(√(15))/(4)x，
(√(15))/(4)x+(1)/(4)x＝3，
∴BE=x＝(6)/(7)(√(15)−1)（2分）
解二：过点M作MN⊥DC，MC=3，NC=(3)/(4)．MN=(3)/(4)√(15)=FN，FC=(3)/(4)(√(15)+1)-2
由△MEF∽△MFC有(EB)/(BM)＝(MC)/(CF)，
即(EB)/(3)＝(3)/((3)/(4)(√(15)+1))，
得BE=(6)/(7)(√(15)−1)．