已知曲线x^2=-y+8与x轴交于a,b两点,动点p与a,b连线的斜率之积为-1/2.1）求动点p的轨迹C的方程（2）MN是动点p的轨迹C的一条弦,且直线OM,ON的斜率之积为-1/2.求OM·ON的最大值,求三角行OMN的面积.

Question

已知曲线x^2=-y+8与x轴交于a,b两点,动点p与a,b连线的斜率之积为-1/2.
1）求动点p的轨迹C的方程
（2）MN是动点p的轨迹C的一条弦,且直线OM,ON的斜率之积为-1/2.
求OM·ON的最大值,求三角行OMN的面积.

Answer 1

已知曲线x^2=-y+8与x轴交于a,b两点,
即y=0,x^2=-y+8.得两点为：(-√8,0),(√8,0)
设P（m,n）
K1=(n-0)/(m--√8),K2=(n-0)/(m-√8)
K1K2=n^2/(m^2-8)=-1/2
得n^2=-1/2(m^2-8)=-1/2m^2+4,即m^2+2n^2=8
所以P的轨迹方程为：x^2/8+y^2/4=1 是个椭圆
第2问,MN为y=kx+m
因为MN与C相切,所以 x^2/8+（kx+m）^2/4=1
即（2k^2+1）x^2+4kmx+2m^2-8=0
所以△=b²﹣4ac=（4km）^2-4（2k^2+1）（2m^2-8）=0
我快要下机了,后面你就带入运算就行了,记得三角形的面积是底乘高除2
底绝对是用MN函数表示,高你只需要得除O点与椭圆的关系即可