（2012•江苏一模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分别是AA1和B1C的中点（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求三棱锥E-BCD的体积．

Question

（2012•江苏一模）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=5，BB₁=BC=6，D，E分别是AA₁和B₁C的中点
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求三棱锥E-BCD的体积．

Answer 1

（1）证明：取BC中点G，连接AG，EG，
因为E是B₁C的中点，所以EG∥BB₁，
且EG＝(1)/(2)BB1．
由直棱柱知，AA₁∥BB₁，AA₁=BB₁，而D是AA₁的中点，
所以EG∥AD，EG=AD（4分）
所以四边形EGAD是平行四边形，
所以ED∥AG，又DE⊄平面ABC，AG⊂平面ABC
所以DE∥平面ABC．  （7分）
（2）因为AD∥BB₁，所以AD∥平面BCE，
所以V_E-BCD=V_D-BCE=V_A-BCE=V_E-ABC，（10分）
由（1）知，DE∥平面ABC，
所以VE−ABC＝VD−ABC＝(1)/(3)AD•(1)/(2)BC•AG＝(1)/(6)×3×6×4＝12．（14分）