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(2013•闵行区二模)已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,BC=2AD.DE⊥BC,垂足为点F,且F是DE的中点,联结AE,交边BC于点G.(1)求证:四边形ABGD是平行四边形;(2)如果AD=2AB,求证:
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(1)求证:四边形ABGD是平行四边形;
(2)如果AD=
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▼优质解答
答案和解析
证明:(1)∵DE⊥BC,且F是DE的中点,
∴DC=EC,
即得∠DCF=∠ECF,
又∵AD∥BC,AB=CD,
∴∠B=∠DCF,AB=EC,
∴∠B=∠ECF,
∴AB∥EC,
又∵AB=EC,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴BG=CG=
BC,
∵BC=2AD,
∴AD=BG,
又∵AD∥BG,
∴四边形ABGD是平行四边形;
(2)∵四边形ABGD是平行四边形,
∴AB∥DG,AB=DG,
又∵AB∥EC,AB=EC,
∴DG∥EC,DG=EC,
∴四边形DGEC是平行四边形,
又∵DC=EC,
∴四边形DGEC是菱形,
∴DG=DC,
由AD=
AB,即得CG=
DC=
DG,
∴DG2+DC2=CG2,
∴∠GDC=90°,
∴四边形DGEC是正方形.

∴DC=EC,
即得∠DCF=∠ECF,
又∵AD∥BC,AB=CD,
∴∠B=∠DCF,AB=EC,
∴∠B=∠ECF,
∴AB∥EC,
又∵AB=EC,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴BG=CG=
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∵BC=2AD,
∴AD=BG,
又∵AD∥BG,
∴四边形ABGD是平行四边形;
(2)∵四边形ABGD是平行四边形,
∴AB∥DG,AB=DG,
又∵AB∥EC,AB=EC,
∴DG∥EC,DG=EC,
∴四边形DGEC是平行四边形,
又∵DC=EC,
∴四边形DGEC是菱形,
∴DG=DC,
由AD=
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∴DG2+DC2=CG2,
∴∠GDC=90°,
∴四边形DGEC是正方形.
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