在△ABC中，D是边BC的中点．（1）①如图1，求证：△ABD和△ACD的面积相等；②如图2，延长AD至E，使DE=AD，连结CE，求证：AB=EC．（2）当∠BAC=90°时，可以结合利用以上各题的结论，解决下列问

Question

在△ABC中，D是边BC的中点．
（1）①如图1，求证：△ABD和△ACD的面积相等；
②如图2，延长AD至E，使DE=AD，连结CE，求证：AB=EC．
（2）当∠BAC=90°时，可以结合利用以上各题的结论，解决下列问题：
①求证：AD=(1)/(2)BC（即：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；
②已知BC=4，将△ABD沿AD所在直线翻折，得到△ADB′，若△ADB′与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的(1)/(4)，请画出图形（草图）并求出AC的长度．

Answer 1

（1）证明：①过点A作AH⊥BC，垂足为H，
则S△ABD=(1)/(2)BD•AH，S△ACD=(1)/(2)CD•AH，
∵点D是BC中点，
∴BD=CD，
∴△ABD和△ACD的面积相等．
②在△ABD和△ECD中，

BD=CD

∠BDA=∠CDE

AD=DE

，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB=EC．
（2）①∵△ABD≌△ECD（已证）
∴∠B=∠ECD；
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠ECD+∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BAC=90°；
在△ABC与△CEA中，

AB=CE

∠BAC=∠ECA

AC=CA

，
∴△ABC≌△CEA（SAS），
∴BC=AE；
∵AD=(1)/(2)AE，
∴AD=(1)/(2)BC．
②画草图如下：

（Ⅰ）当AB>AC时，如图3，由△ADB′与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的(1)/(4)，
结合（1）①题的结论，可以得到点O既即是ABˊ的中点，也是CD的中点，
故四边形ADB′C为平行四边形，
∴AC=BˊD=BD=(1)/(2)BC=2．
（Ⅱ）当AB<AC时，
如图4，类比第（Ⅰ）题，同理可证△AOBˊ≌△COD，
∴ABˊ=CD=2，∠Bˊ=∠CDO，
又∵∠Bˊ=∠B，
∴∠B=∠CDO，
∴AB∥OD，
∴∠COD=∠BAC=90°，
又∵DO=OBˊ=1，
由勾股定理可得CO=√(3)，
∴AC=2CO=2√(3)．
（Ⅲ）当 AB=AC时，由等腰三角形的性质可知，
折叠后重合的面积等于△ABC面积的(1)/(2)，
不可能等于(1)/(4)，所以不合题意，舍去．
综上所述：AC=2或2√(3)．