在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中．（1）如图1，如果N是AD中点，F为AB中点，连接DF，CN．①求证：DF=CN；②连接AC．求DH：HE：EF的值；（2）如图2，如果点E、M分别是线段AC、CD上的动点

Question

在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中．
（1）如图1，如果N是AD中点，F为AB中点，连接DF，CN．
①求证：DF=CN；
②连接AC．求DH：HE：EF的值；
（2）如图2，如果点E、M分别是线段AC、CD上的动点，假设点E从点A出发，以√(2)cm/s速度沿AC向点C运动，同时点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，运动时间为t（t＞0），连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．

Answer 1

（1）①证明：∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，
∴∠ADF=∠DCN，
在△ADF与△DNC中，

∠DAF＝∠CDN＝90°

AD＝CD

∠ADF＝∠DCN

，
∴△ADF≌△DNC（ASA），
∴DF=MN；

②∵AD=CD=AB=a，N，F分别是AD，AB中点，
∴DN=AF=(a)/(2)，
∴DF=(√(5))/(2)a，
∵AF∥CD，
∴△AFE∽△CDE，
∴(EF)/(DE)=(AF)/(CD)=(1)/(2)，
∴(EF)/(DF)=(1)/(3)，
∴EF=(√(5))/(6)a，
∵DH×CN=DN×CD，
∴DH=(DN×CD)/(NC)=((1)/(2)a×a)/((√(5))/(2)a)=(√(5))/(5)a，
∴EH=(√(5))/(2)a-(√(5))/(6)a-(√(5))/(5)a=(2√(5))/(15)a，
∴DH：HE：EF=(√(5))/(5)a：(2√(5))/(15)a：(√(5))/(6)a=6：4：5；

（2）该命题是真命题．
理由如下：当点F是边AB中点时，则AF=(1)/(2)AB=(1)/(2)CD．
∵AB∥CD，
∴△AFE∽△CDE，
∴(AE)/(EC)=(AF)/(CD)=(1)/(2)，
∴AE=(1)/(2)EC，则AE=(1)/(3)AC=(√(2))/(3)a，
∴t=(AE)/(√(2))=(1)/(3)a．
则CM=1•t=(1)/(3)a=(1)/(3)CD，
∴点M为边CD的三等分点．