在Rt△ABC中，AB=2，AC=4，∠A为直角，P为AB中点，M、N分别是BC，AC上任一点，则△MNP周长的最小值是28552855．

Question

在Rt△ABC中，AB=2，AC=4，∠A为直角，P为AB中点，M、N分别是BC，AC上任一点，则△MNP周长的最小值是

(2√(85))/(5)

(2√(85))/(5)

．

Answer 1

如图所示．建立直角坐标系．
作出点P关于y轴的对称点E，则|PN|=|EN|．
∵点P是线段AB的中点，AB=2．
∴P（1，0），
∴E（-1，0）．
作出点P关于直线BC的对称点F，则|PM|=|MF|．
∵|AC|=4，∴C（0，4）．
∴直线BC的方程为(x)/(2)+(y)/(4)＝1，化为2x+y=4．
设F（m，n），则

(n−0)/(m−1)×(−2)＝−1

(1+m)/(2)×2+(n+0)/(2)＝4

，解得

m＝(13)/(5)

n＝(4)/(5)

．
∴F((13)/(5)，(4)/(5))．
∴△MNP周长l=|PN|+|MN|+|PM|
=|EN|+|MN|+|MF|．
当且仅当四点E，N，M，F在同一条直线上△MNP周长l取得最小值|EF|．
|EF|=√((−1−(13)/(5))2+((4)/(5))2)=

2

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