如图，已知直角梯形ABCD中，E为CD边中点，且AE⊥CD，又G，F分别为DA，EC的中点，将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC．（1）求证：AE⊥平面CDE；（2）求证：FG∥平面BCD；（3）在线段DC上找一点R，使得

Question

如图，已知直角梯形ABCD中，E为CD边中点，且AE⊥CD，又G，F分别为DA，EC的中点，将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC．
（1）求证：AE⊥平面CDE；
（2）求证：FG∥平面BCD；
（3）在线段DC上找一点R，使得平面AER⊥平面DCB，并说明理由．

Answer 1

证明：（1）由已知得DE⊥AE，AE⊥EC．
∵DE∩EC=E，DE、EC⊂平面DCE．…（2分）
∴AE⊥平面CDE．…（4分）
（1）取AB中点H，连接GH，FH，
∴GH∥BD，FH∥BC，
∴GH∥面BCD，FH∥面BCD．
∴面FHG∥面BCD，∵GF⊂面FHG
∴GF∥平面BCD．…（8分）
（3）取线段DC中点R，则平面AER⊥平面DCB
∵在△DEC中，DE=EC，R为DC中点
∴ER⊥DC …（9分）
∵AE⊥平面CDE，DC⊂平面DCE
∴AE⊥DC…（10分）
又ER∩AE=E，AE、ER⊂平面AER．
∴DC⊥平面AER…（11分）
∵DC⊂平面DCB
∴平面AER⊥平面DCB
即 取DC中点R时，有平面AER⊥平面DCB …（12分）