如图，在等腰△ABC中，CA=CB，AD是腰BC边上的高，△ACD的内切圆⊙E分别与边AD、BC相切于点F、G，连AE、BE．（1）求证：AF=BG；（2）过E点作EH⊥AB于H，试探索线段EH与线段AB的数量关系，并说明理

Question

如图，在等腰△ABC中，CA=CB，AD是腰BC边上的高，△ACD的内切圆⊙E分别与边AD、BC相切于点F、G，连AE、BE．
（1）求证：AF=BG；
（2）过E点作EH⊥AB于H，试探索线段EH与线段AB的数量关系，并说明理由．

Answer 1

（1）设△ACD的内切圆⊙E与边AC相切于点I，
△ACD的内切圆⊙E与边BC相切于点G，所以CI=CG．
同理：AI=AF．
∵CA=CB，CI=CG，∴AI=BG．
又∵AI=AF，∴AF=BG．

（2）EH=(1)/(2)AB，
理由：连接AE、BE、CE，
∵E是△ACD的内切圆的圆心，
∴CE平分∠ACB．
即∠ACE=∠BCE，
在△ACE和△BCE中，

CA＝BC

∠ACE＝∠BCE

CE＝CE

，
∴△ACE≌△BCE（SAS）．
∴∠AEC=∠BEC，AE=BE，
∵E是△ACD的内切圆的圆心，∠ADC=90°，
∵∠AEC=90°+(1)/(2)∠ADC=135°，
从而∠AEB=90°，又AE=BE，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∵EH⊥AB于H，
∴EH=(1)/(2)AB．