如图,三角形ABC中,AC等于BC,角BCA等于90度,D是AB上任意一点,AE垂直CD交CD延长线于E,BF垂直CD于F,求证：EF等于BF减AE

Question

如图,三角形ABC中,AC等于BC,角BCA等于90度,D是AB上任意一点,AE垂直CD交CD延长线于E,BF垂直CD于F,求证：EF等于BF减AE

Answer 1

为了保证BF>AE,D必须在AB上的中点往A方向.
证明：
∵∠ACB=90°,∴∠ACE+∠BCF=90°,
∵AE⊥CD,∴∠CAE+∠ACE=90°,
∴∠CAE=∠ACF,
在ΔACE与ΔCBF中：
∠AEC=∠CFB=90°,∠CAE=∠BCF,AC=BC,
∴ΔACE≌ΔCBF(AAS),
∴CE=BF,AE=CF,
∴EF=CE-CF=BF-AE.