如图，边长为4的正方形ABCD与矩形ABEF所在平面互相垂直，M，N分别为AE，BC的中点，AF=3．（Ⅰ）求证：DA⊥平面ABEF；（Ⅱ）求证：MN∥平面CDFE．（Ⅲ）在线段FE上是否存在一点P，使得AP⊥MN？

Question

如图，边长为4的正方形ABCD与矩形ABEF所在平面互相垂直，M，N分别为AE，BC的中点，AF=3．
（Ⅰ）求证：DA⊥平面ABEF；
（Ⅱ）求证：MN∥平面CDFE．
（Ⅲ）在线段FE上是否存在一点P，使得AP⊥MN？若存在，求出FP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为ABCD为正方形，所以DA⊥AB．
因为正方形ABCD与矩形ABEF所在平面互相垂直，
所以DA⊥平面ABEF；
（Ⅱ）证明：连接FB，FC，则
因为ABEF是矩形，M是AE中点，
所以M是BF的中点，
因为N是BC的中点，
所以MN∥CF，
因为MN⊄平面CDEF，CF⊂平面CDEF，
所以MN∥平面CDFE；
（Ⅲ）过A点作AG⊥FB交线段于点P，P即为所求．
因为CB⊥平面ABEF，
所以CB⊥AP，
因为AP⊥FB，CB∩FB=B，
所以AP⊥平面BNM，
所以AP⊥MN．
因为△AFP∽△BAF，
所以(FP)/(AF)＝(3)/(4)，
因为AF=3，
所以FP=(9)/(4)．