设a、b为常数，M={f(x)|f(x)=acosx+bsinx，x∈R}；F：把平面上任意一点(a，b)映射为函数acosx+bsinx．(1)证明：对F不存在两个不同点对应于同一个函数；(2)证明：当∈M时，(x+t)∈M，这里t为常数；(3)

Question

设a、b为常数，M={f(x)|f(x)=acosx+bsinx，x∈R}；F：把平面上任意一点(a，b)映射为函数acosx+bsinx．
(1)证明：对F不存在两个不同点对应于同一个函数；
(2)证明：当∈M时，(x+t)∈M，这里t为常数；
(3)对于属于M的一个固定值，得，若映射F的作用下点(m，n)的象属于，问：由所有符合条件的点(m，n)构成的图形是什么？____

Answer 1

【分析】(1)假设有两个不同的点(a，b)，(c，d)对应同一函数，即acosx+bsinx=ccosx+dsinx对一切实数x均成立．特别令x=0，得a=c；令x=，得b=d．这与(a，b)，(c，d)是两个不同点矛盾，故不存在两个不同点对应同函数．
\n(2)当f₀(x)∈M时，可得常数aa₀，b₀，使f₀(x)=a₀cosx+b₀sinx，f₁(x)=f₀(x+t)=a₀cos(x+t)+b₀sin(x+t)=(a₀cost+b₀sint)+(b₀cost-a₀sint)sinx．由此能够证明f₁(x)=f₀(x+t)∈M．
\n(3)设f₀(x)∈M，由此得f₀(x+t)=mcosx+nsinx，在映射F下，f₀(x+t)的原象是(m，n)，则M₁的原象是{(m，n)|m=a₀cost+b₀sint，n=b₀cost-a₀sint，t∈R}，消去t得m²+n²=a₀²+b₀²，由此能得到有符合条件的点(m，n)构成的图形是圆．

(1)证明：假设有两个不同的点(a，b)，(c，d)对应同一函数，
\n即F(a，b)=acosx+bsinx与F(c，d)=ccosx+dsinx相同，
\n即acosx+bsinx=ccosx+dsinx对一切实数x均成立．
\n特别令x=0，得a=c；
\n令x=，得b=d．
\n这与(a，b)，(c，d)是两个不同点矛盾，
\n假设不成立．
\n故不存在两个不同点对应同函数．
\n(2)当f₀(x)∈M时，
\n可得常数a₀，b₀，使f₀(x)=a₀cosx+b₀sinx，
\nf₁(x)=f₀(x+t)=a₀cos(x+t)+b₀sin(x+t)
\n=(a₀cost+b₀sint)+(b₀cost-a₀sint)sinx．
\n由于a₀，b₀，t为常数，
\n设a₀cost+b₀sint=m，b₀cost-a₀sint=n，
\n则m，n是常数．
\n从而f₁(x)=f₀(x+t)∈M．
\n(3)设f₀(x)∈M，
\n由此得f₀(x+t)=mcosx+nsinx，
\n(其中m=a₀cost+b₀sint，n=b₀cost-a₀sint)
\n在映射F下，f₀(x+t)的原象是(m，n)，
\n则M₁的原象是
\n{(m，n)|m=a₀cost+b₀sint，n=b₀cost-a₀sint，t∈R}，
\n消去t得m²+n²=a₀²+b₀²，
\n即在映射F下，M₁的原象{(m，n)|m²+n²=a₀²+b₀²}是以原点为圆心，为半径的圆．

【点评】本题考查映射的概念，难度较大．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．