如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E．（1）求证：△BDC≌△BEC；（2）若BE=10，CE=6，连接OE，求OE的值．

Question

如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E．

（1）求证：△BDC≌△BEC；
（2）若BE=10，CE=6，连接OE，求OE的值．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AB∥DC，∠BCD=∠BCE=90°，
∵AC∥BE，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∴AB=CE，
∴DC=EC，
在△BCD和△BCE中，

BC=BC

∠BCD=∠BCE

DC=EC

∴△BCD≌△BCE；
（2） 过点O作OF⊥CD于点F，

∵由（1）知：四边形ABEC为平行四边形，
∴AC=BE，
∴BE=BD=10，
∵△BCD≌△BCE，
∴CD=CE=6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DO=OB，∠BCD=90°，
∵OF⊥CD，
∴OF∥BC，
∴CF=DF=(1)/(2)CD=3，
∴EF=6+3=9，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC=8，
∵OB=OD，
∴OF为△BCD的中位线，
∴OF=(1)/(2)BC=4．
∴在Rt△OEF中，由勾股定理可得OE=√(OF2+EF2)=√(42+92)=√(97)．