高数题...求曲面Z=X平方+Y平方和Z=2-根号下X平方+Y平方所围成的立方体的体积和表面积不是立方体。是立体。

Question

高数题...
求曲面Z=X平方+Y平方和Z=2-根号下X平方+Y平方所围成的立方体的体积和表面积
不是立方体。是立体。

Answer 1

令x²+y²=2-√(x²+y²)
x²+y²=1
V=∫(下限x²+y²,上限2-√(x²+y²))dz∫∫dσ (二重积分区域为x²+y²=1)
=∫∫[2-√(x²+y²)-(x²+y²)]dσ
=∫(下限0,上限2π)dθ∫(2-r-r²)rdr
=2π∫(2r-r²-r³)dr
=5π/6
对曲面1
dz/dx=2x,dz/dy=2y
S1=∫∫√(1+(2x)²+(2y)²)dσ
=∫(下限0,上限2π)dθ∫√(1+4r²)rdr
=(5√5-1)π/6
对曲面2
dz/dx=-x/√(x²+y²),dz/dy=-y/√(x²+y²)
S2=∫∫√2dσ
=√2π
所以S=S1+S2=(5√5+6√2-1)π/6