一容器的内侧是由图中曲线绕y旋转一周而成的曲面，该曲面由x2+y2=2y(y≥12)，x2+y2=1(y≤12)连接而成．（1）求容器的容积．（2）若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要多少功？

Question

一容器的内侧是由图中曲线绕y旋转一周而成的曲面，该曲面由x2+y2=2y(y≥(1)/(2))，x2+y2=1(y≤(1)/(2))连接而成．
（1）求容器的容积．
（2）若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要多少功？（长度单位：m；重力加速度为gm/s²；水的密度为10³kg/m³）

Answer 1

曲面简图如下：

曲面由x2+y2=2y(y≥(1)/(2))，x2+y2=1(y≤(1)/(2))连接而成，
可得：(1)/(2)≤y≤2时，x2+y2=2y；
-1≤y≤(1)/(2)时，x2+y2=1．则有：
(1)V=π

∫	(1)/(2) -1

x2dy+π

∫

2 (1)/(2)

x2dy=π

∫	(1)/(2) -1

(1-y2)dy+π

∫

2 (1)/(2)

(2y-y2)dy=π[y-(1)/(3)y3

]	(1)/(2) -1

+π[y2-(1)/(3)y3

]

2 (1)/(2)

=π[((1)/(2)-(1)/(24))-(-1+(1)/(3))]+π[(4-(8)/(3))-((1)/(4)-(1)/(24))]
=(9)/(8)π+(9)/(8)π=(9)/(4)π；
（2）W=

∫

2 -1

ρg(2-y)dV=

∫

2 -1

ρg(2-y)πx2dy=πρg[

∫	(1)/(2) -1

(2-y)(1-y2)dy+

∫

2 (1)/(2)

(2-y)(2y-y2)dy]
=πρg[

∫	(1)/(2) -1

(2-y-2y2+y3)dy+

∫

2 (1)/(2)

(4y-4y2+y3)dy]
=πρg[(2y-(1)/(2)y2-(2)/(3)y3+(1)/(4)y4

)	(1)/(2) -1

+(2y2-(4)/(3)y3+(1)/(4)y4

)

2 (1)/(2)

]
=πρg[(1-(1)/(8)-(1)/(12)+(1)/(64))-(-2-(1)/(2)+(2)/(3)+(1)/(4))+(8-(32)/(3)+4)-((1)/(2)-(1)/(6)+(1)/(64))]
=(27)/(8)πρg．