试求曲面z=1axy上被圆柱面x2+y2=a2所截下的有限部分的曲面面积（a＞0）．

Question

试求曲面z=(1)/(a)xy上被圆柱面x²+y²=a²所截下的有限部分的曲面面积（a＞0）．

Answer 1

由题意，曲面与柱面的交线在xoy面的投影为x²+y²=a²所
设所截的曲面为∑，则∑在xoy面的投影为
D={（x，y）|x²+y²≤a²}
∴所求曲面的面积为A＝

∫∫

dS=

∫∫

D

√(1+zx2+zy2)dxdy
=

∫∫

D

√(1+(y2)/(a2)+(x2)/(a2))dxdy=(1)/(a)

∫

2π 0

dθ

∫

a 0

√(a2+r2)rdr
=(π)/(a)[(2)/(3)(a2+r2)(3)/(2)

]

a 0

=(2√(2)−1)πa2