已知∫∫Σ4zxdydz-2yzdzdx+(1-z^2)dxdy,其中Σ为由曲线{z=e^y,x=0(0≤y≤a)绕z轴旋转一周成的曲面不是已知,是计算完整的题目是这个：计算∫∫Σ4zxdydz-2yzdzdx+(1-z^2)dxdy,其中Σ为由曲线{z=e^y,x=0(0≤y

Question

已知∫∫Σ4zxdydz-2yzdzdx+(1-z^2)dxdy ,其中Σ为由曲线{z=e^y ,x=0 (0≤y≤a) 绕z轴旋转一周成的曲面
不是已知,是计算
完整的题目是这个：计算∫∫Σ4zxdydz-2yzdzdx+(1-z^2)dxdy ,其中Σ为由曲线{z=e^y ,x=0 (0≤y≤a) 绕z轴旋转一周成的曲面,其法向量与z轴正向夹角恒大于π/2
要不看不懂》《

Answer 1

曲线z=e^y绕z轴旋转一周后为一旋转体,z的范围是z：0→e^a,
由于曲面不封闭,首先被为封闭曲面
补Σ1：z=e^a,x²+y²≤a²,上侧
∫∫(Σ+Σ1) 4xzdydz-2yzdxdz+(1-z²)dxdy
高斯公式
=∫∫∫ (4z-2z-2z) dxdydz
=0

下面计算补的平面上的积分：
∫∫Σ1 4xzdydz-2yzdxdz+(1-z²)dxdy
=∫∫ [1-e^(2a)] dxdy
=[1-e^(2a)]πa²

因此原积分=0 - [1-e^(2a)]πa² = [e^(2a)-1]πa²