计算对坐标的曲面积分∬xyzdxdy，其中积分曲面∑为球面x2+y2+z2=1（x≥0，y≥0）的外侧．

Question

计算对坐标的曲面积分

∬

xyzdxdy，其中积分曲面∑为球面 x²+y²+z²=1（x≥0，y≥0）的外侧．

Answer 1

补充曲面∑1：x=0(y2+z2≤1，y≥0)，方向取左侧；∑2：y=0(x2+z2≤1，x≥0)，方向取后侧，
设它们所围成的立体区域为V，则由高斯公式，得

∬

xyzdxdy=

∬

∑+∑1+∑2

xyzdxdy-

∬

∑1

xyzdxdy-

∬

∑2

xyzdxdy
=

∫∫∫

V

xydxdydz-0-0
=

∫

(π)/(2) 0

dθ

∫

π 0

sin2φdφ

∫

1 0

r2cos2φcosθsinθ•r2dθ
=(1)/(2)•(π)/(8)•(1)/(5)=(π)/(80)