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曲面z=x2+y2平行于平面2x+2y-z=0的切平面方程为．
题目详情
曲面z=x2+y2平行于平面2x+2y-z=0的切平面方程为______．
▼优质解答
答案和解析
设F（x，y，z）=x2+y2-z，
因为Fx′=2x，Fy′=2y，Fz′=-1，
故曲面z=x2+y2在点（x，y，z）处的法向量为：
＝(2x，2y，−1)．
又因为平面2x+2y-z=0的法向量为：（2，2，-1），
则由
＝
＝
可得，x=y=1．
从而所求切平面为：
2（x-2）+2（y-2）-（z-2）=0．
即：2x+2y-z-2=0．
故答案为：2x+2y-z-2=0．
因为Fx′=2x，Fy′=2y，Fz′=-1，
故曲面z=x2+y2在点（x，y，z）处的法向量为：
| n |
又因为平面2x+2y-z=0的法向量为：（2，2，-1），
则由
| 2x |
| 2 |
| 2y |
| 2 |
| −1 |
| −1 |
从而所求切平面为：
2（x-2）+2（y-2）-（z-2）=0．
即：2x+2y-z-2=0．
故答案为：2x+2y-z-2=0．
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