已知曲线C1：x=8costy=3sint（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=7cosθ-2sinθ．（Ⅰ）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标

Question

已知曲线C₁：

x=8cost

y=3sint

（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=(7)/(cosθ-2sinθ)．
（Ⅰ）将曲线C₁的参数方程化为普通方程，将曲线C₂的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设P为曲线C₁上的点，点Q的极坐标为(4√(2)，(3π)/(4))，求PQ中点M到曲线C₂上的点的距离的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）曲线C₁：

x=8cost

y=3sint

（t为参数），消去参数可得：(x2)/(64)+(y2)/(9)=1，
以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=(7)/(cosθ-2sinθ)．化为ρcosθ-2ρsinθ=7，它的普通方程为：x-2y-7=0．
（Ⅱ）设P为曲线C₁上的点，点Q的极坐标为(4√(2)，(3π)/(4))，Q的直角坐标为：（-4，4），
设P（8cost，3sint），故M（-2+4cost，2+(3)/(2)sint），PQ中点M到曲线C₂上的点的距离d=(√(5)|4cost-3sint-13|)/(5)=(√(5)|5sin(t+β)-13|)/(5)（其中tanβ=-(4)/(3)），
当sint=-(3)/(5)，cost=(4)/(5)时，PQ中点M到曲线C₂上的点的距离最小值为：(8√(5))/(5)．