已知抛物线y=ax2+（a+2）x+2a+1与直线y=2-3x至少有一个交点是整点（直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点），试确定整数a的值，并求出相应的交点（整点）的坐标．

Question

已知抛物线y=ax²+（a+2）x+2a+1与直线y=2-3x至少有一个交点是整点（直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点），试确定整数a的值，并求出相应的交点（整点）的坐标．

Answer 1

联立

y＝ax2+(a+2)x+2a+1

y＝2−3x

，
得ax²+（a+5）x+2a-1=0（1）
设（1）的两根为x₁，x₂，
当两根都为整数，则x₁•x₂=(2a−1)/(a)=2-(1)/(a)为整数，
∴a=±1，
当a=1时，（1）为x²+6x+1=0无整数解，
当a=-1时，（1）为x²-4x+3=0，
解得：x₁=1，x₂=3，
对应地y₁=-1，y₂=-7，
∴a=-1，交点坐标为（1，-1）和（3，-7）．
当其中一个根是整数，
则a=2，（1）为2x²+7x+3=0，
解得：x₁=-(1)/(2)（不合题意舍去），x₂=-3，
对应地y₂=11，
∴交点坐标为：（-3，11），
a=3，（1）为3x²+8x+5=0，
解得：x₁=-(5)/(3)（不合题意舍去），x₂=-1，
对应地y₂=5，∴交点坐标为：（-1，5），
综上所述：交点坐标为：（1，-1），（3，-7），（-3，11），（-1，5）．