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已知一次函数y=kx+3(k<0)的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,tan∠OAB=2,点P(a,b)是在该函数的图象上的一点.(1)求k的值;(2)若点P到x轴、y轴的距离之和等于2,求点P的坐标;(3

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已知一次函数y=kx+3(k<0)的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,tan∠OAB=2,点P(a,b)是在该函数的图象上的一点.
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(1)求k的值;
(2)若点P到x轴、y轴的距离之和等于2,求点P的坐标;
(3)设a=1-m,如果在两个实数a与b之间(不包括a和b)有且只有一个整数,求实数m的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)在y=kx+3中令x=0,则y=3,即B的坐标是(0,3),OB=3.
∵tan∠BAO=
OB
OA
=2,
∴OA=
3
2

∴A的坐标是(
3
2
,0).
代入y=kx+3得0=
3
2
k+3,解得k=-2,
∴一次函数的解析式是y=-2x+3.

(2)∵点P(a,b)是在该函数的图象上的一点,
∴b=-2a+3,
∵点P到x轴、y轴的距离之和等于2,
∴|a|=2-|b|,
∴|a|=2-|-2a+3|,
当a<0时,则有-a=2+2a-3,
解得a=
1
3
(不合题意舍去),
当0<a<
3
2
时,则有a=2+2a-3,
解得a=1,
∴P(1,1),
当a>
3
2
时,则有a=2-2a+3,
解得a=
5
3

∴P(
5
3
,-
1
3
);
(3)由已知P(1-m,2m+1),易知,a≠b,1-m≠2m+1,m≠0;
若m>0,a<1<b,由题设a≥0,b≤2,
则 1-m<1,2m+1≤2,
解不等式组的解集是:0<m≤
1
2

若m<0,b<1<a,由题设b≥0,a≤2,
则 1-m>1,2m+1≥0,
解得:-
1
2
≤m<0;
综合上述:m的取值范围是:-
1
2
≤m≤
1
2
且m≠0.
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