在直角平面坐标系中，二次函数f（x）过定点（-1，3），顶点坐标为（0，2）；正比例函数g（x）的图象恰为一、三象限的角平分线．若函数F（x）=af（x）-g（x），其中a为常实数．（1）求函

Question

在直角平面坐标系中，二次函数f（x）过定点（-1，3），顶点坐标为（0，2）；正比例函数g（x）的图象恰为一、三象限的角平分线．若函数F（x）=af（x）-g（x），其中a为常实数．
（1）求函数F（x）；
（2）若a>0，设F（x）在区间[1，2]上的最小值为G（a），求G（a）的表达式；
（3）在（2）的条件下，若G（a）>m²-2tm-5对所有的a∈（0，+∞），t∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）设函数的表达式为f（x）=a（x-0）²+2
∵函数过定点（-1，3）
∴f（x）=x²+2…2分
g（x）=x…3分
∴F（x）=ax²-x+2a…4分
（2）F(x)=a(x-(1)/(2a))2+2a-(1)/(4a)为开口向上的抛物线
①0<a≤(1)/(4)时，F（x）_min=F（2）=6a-2
②a≥(1)/(2)时，F（x）_min=F（1）=3a-1
③(1)/(4)<a<(1)/(2)时，F(x)min=F((1)/(2a))=2a-(1)/(4a)
所以G(a)=

3a-1，(a≥(1)/(2))

2a-(1)/(4a)，((1)/(4)<a<(1)/(2))

6a-2，(0<a≤(1)/(4))

…9分
（3）由（2）得G（a）>-2…11分
所以m²-2tm-5≤-2即-2tm+m²-3≤0对任意的t∈[-1，1]恒成立
所以2m+m²-3≤0且-2m+m²-3≤0…14分
所以-1≤m≤1…15分．