抛物线C1：y=a（x+1）（x-3a）（a>0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，-3）（1）求抛物线C1的解析式及A，B点坐标；（2）求抛物线C1的顶点坐标；（3）将抛物线C1向上平移

Question

抛物线C₁：y=a（x+1）（x-3a）（a>0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，-3）

（1）求抛物线C₁的解析式及A，B点坐标；
（2）求抛物线C₁的顶点坐标；
（3）将抛物线C₁向上平移3个单位长度，再向左平移n（n>0）个单位长度，得到抛物线C₂，若抛物线C₂的顶点在△ABC内，求n的取值范围．
（在所给坐标系中画出草图C₁）

Answer 1

（1）∵抛物线C₁：y=a（x+1）（x-3a）y轴交于点C（0，-3），
∴-3=a（0+1）（0-3a），
解得a=1（舍去负值）．
∴抛物线C₁的解析式为：y=（x+1）（x-3）．
∴A（-1，0），B（3，0）；
（2）∵y=（x+1）（x-3）=（x-1）²-4，
∴该抛物线的解析式为y=（x-1）²-4，则该抛物线的顶点坐标为（1，-4）．
（3）将（1）中求得的抛物线向上平移3个单位长度，
再向左平移n（n>0）个单位长度得到新抛物线y=（x-1+n）²-1，
∴平移后抛物线的顶点坐标是（1-n，-1），
∴-(2)/(3)<1-n<2，
解得-1<n<(5)/(3)，
∵n>0，
∴0<n<(5)/(3)．