已知：如图，正方形OABC的边长为4单位上，OA边在x轴上，OC边在y轴上，点D是x轴上一点，坐标为（1，0），点E为OC的中点，连接BD、BE、DE．（1）点B的坐标为．（2）判断△BDE的形状，并证明

Question

已知：如图，正方形OABC的边长为4单位上，OA边在x轴上，OC边在y轴上，点D是x轴上一点，坐标为（1，0），点E为OC的中点，连接BD、BE、DE．
（1）点B的坐标为___．
（2）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（3）点M为x轴上一个动点，当∠MBD=45°时，请你直接写出点M的坐标．

Answer 1

（1）∵正方形ABCO的边长为4，
∴BC=BA=4，
∴B点坐标为（4，4）；
故答案为（4，4）；
（2）△BDE为直角三角形．理由如下：
∵D（1，0），点E为OC的中点，
∴OE=CE=2，OD=1，
∴AD=3，
∴DE²=OD²+OE²=1+4=5，BE²=CE²+BE²=4+16=20，DB²=AD²+AB²=9+16=25，
∵5+20=25，
∴DE²+BE²=DB²，
∴△BDE为直角三角形，∠BED=90°；
（3）连结BO，
∵正方形ABCO的边长为4，
∴BO=√(2)OA=4√(2)，∠BOA=45°，
当点M在点D右侧，如图1，
∵∠MBD=∠BOM=45°，∠DMB=∠OBM，
∴△MBD∽△MOB，
∴MB：MO=MD：MB，即MB²=MO•MD，
∴MB²=（MA+4）（MA+3）=MA²+7MA+12，
而MB²=AB²+AM²，
∴MA²+7MA+12=AB²+AM²=4²+AM²，
∴AM=(4)/(7)，
∴OM=4+(4)/(7)=(32)/(7)，
∴M点坐标为（(32)/(7)，0）；
当点M在点D左侧，如图2，
∵∠MBD=∠BOD=45°，∠ODB=∠BDM，
∴△DOB∽△DBM，
∴OD：BD=BD：DM，
即1：5=5：DM，
∴DM=25，
∴MO=MD-OD=25-1=24，
∴M点坐标为（-24，0），
综上所述，M点的坐标为（-24，0）或（(32)/(7)，0）．