在直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是正整数）与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0）．若|x1|和|x2|都大于1，则abc的最小值是，此时a+b+c=．

Question

在直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c（a，b，c是正整数）与x轴有两个不同的交点A（x₁，0），B（x₂，0）．若|x₁|和|x₂|都大于1，则abc的最小值是___，此时a+b+c=___．

Answer 1

由抛物线y=ax²+bx+c（a，b，c是正整数）可知，
∵a>0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线的对称轴x=-(b)/(2a)<0，
∴抛物线对称轴在y轴左侧，
∵x₁•x₂=(c)/(a)>0，
又∵|x₁|和|x₂|都大于1，
∴x₁2∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b²-4ac>0，
∴b>2√(ac)，
观察图象可知，当x=-1时，y>0，则a-b+c>0，
∵a，b，c都是正整数，
∴a-b+c≥1，
所以a+c≥b+1>2√(ac)+1，可得（√(a)-√(c)）²>1，即√(a)>√(c)+1，
∵c为正整数，∴c的最小值为1，
∴√(a)>2，故a>4，
∴b>2√(ac)>4，分别取a、b、c的最小整数5、5、1．
经检验，符合题意，
所以abc的最小值是5×5×1=25，a+b+c=11．
故答案为：25；11．