（2014•达州）如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）．（1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式．（2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的

Question

（2014•达州）如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）．
（1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式．
（2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标．
（3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值．

Answer 1

（1）∵该抛物线经过点A（5，0），O（0，0），
∴该抛物线的解析式可设为y=a（x-0）（x-5）=ax（x-5）．
∵点B（4，4）在该抛物线上，
∴a×4×（4-5）=4．
∴a=-1．
∴该抛物线的解析式为y=-x（x-5）=-x²+5x．

（2）以O、A、B、M为顶点的四边形中，△OAB的面积固定，因此只要另外一个三角形面积最大，则四边形面积即最大．
①当0＜x＜4时，点M在抛物线OB段上时，如答图1所示．

∵B（4，4），∴易知直线OB的解析式为：y=x．
设M（x，-x²+5x），
过点M作ME∥y轴，交OB于点E，则E（x，x），
∴ME=（-x²+5x）-x=-x²+4x．
S_△OBM=S_△MEO+S_△MEB=(1)/(2)ME（x_E-0）+(1)/(2)ME（x_B-x_E）=(1)/(2)ME•x_B=(1)/(2)ME×4=2ME，
∴S_△OBM=-2x²+8x=-2（x-2）²+8
∴当x=2时，S_△OBM最大值为8，即四边形的面积最大．
②当4＜x＜5时，点M在抛物线AB段上时，图略．
可求得直线AB解析式为：y=-4x+20．
设M（x，-x²+5x），
过点M作ME∥y轴，交AB于点E，则E（x，-4x+20），
∴ME=（-x²+5x）-（-4x+20）=-x²+9x-20．
S_△ABM=S_△MEB+S_△MEA=(1)/(2)ME（x_E-x_B）+(1)/(2)ME（x_A-x_E）=(1)/(2)ME•（x_A-x_B）=(1)/(2)ME×1=(1)/(2)ME，
∴S_△ABM=-(1)/(2)x²+(9)/(2)x-10=-(1)/(2)（x-(9)/(2)）²+(1)/(8)
∴当x=(9)/(2)时，S_△ABM最大值为(1)/(8)，即四边形的面积最大．
比较①②可知，当x=2时，四边形面积最大．
当x=2时，y=-x²+5x=6，
∴M（2，6）．

（3）由题意可知，点P在线段OB上方的抛物线上．
设P（m，-m²+5m），则Q（m，m）
当△PQB为等腰三角形时，
①若点B为顶点，即BP=BQ，如答图2-1所示．
过点B作BE⊥PQ于点E，则点E为线段PQ中点，
∴E（m，(−m2+6m)/(2)）．
∵BE∥x轴，B（4，4），
∴(−m2+6m)/(2)=4，
解得：m=2或m=4（与点B重合，舍去）
∴m=2；

②若点P为顶点，即PQ=PB，如答图2-2所示．
易知∠BOA=45°，∴∠PQB=45°，则△PQB为等腰直角三角形．
∴PB∥x轴，
∴-m²+5m=4，
解得：m=1或m=4（与点B重合，舍去）
∴m=1；
③若点Q为顶点，即PQ=QB，如答图2-3所示．
∵P（m，-m²+5m），Q（m，m），
∴PQ=-m²+4m．
又∵QB=

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