某低碳节能产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点在原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销

Question

某低碳节能产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点在原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡．

（1）求y与x以及z与x之间的函数关系式；
（2）设年产量为x万件时，所获毛利润为w万元，求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？（毛利润=销售额-生产费用）．

Answer 1

图①可得函数经过点（100，1000），
设抛物线的解析式为y=ax²（a≠0），
将点（100，1000）代入得：1000=10000a，
解得：a=(1)/(10)，
故y与x之间的关系式为y=(1)/(10)x²．
图②可得：函数经过点（0，30）、（100，20），
设z=kx+b，则

100k+b＝20

b＝30

，
解得：

k＝−(1)/(10)

b＝30

，
故z与x之间的关系式为z=-(1)/(10)x+30；
（2）年产量为x万件时，生产费用为(1)/(10)x²，销售额为：zx=（-(1)/(10)x+30）x=-(1)/(10)x²+30x，
则w=-(1)/(10)x²+30x-(1)/(10)x²=-(1)/(5)x²+30x=-(1)/(5)（x²-150x）=-(1)/(5)（x-75）²+1125，
当x=75时，获得毛利润最大，最大毛利润为1125万元．
答：当年产量为75万件时，获得毛利润最大，最大毛利润为1125万元．