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试证：方程x=asinx+b至少有一个不超过a+b的正根,其中a大于0,b大于0
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试证：方程x=asinx+b至少有一个不超过a+b的正根,其中a大于0,b大于0
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答案和解析
设f（x）=asinx+b-x,f（x）在闭区间[0,a+b]上续,
f（0）=b＞0,f（a+b）=asin（a+b)+b-(a+b)≤a+b-(a+b)=0分两种情况,当sin（a+b)=1时,f（a+b）=0,方程有一个正根x=a+b符合要求
sin（a+b)＜1时,f（a+b）＜0,符合零点定理条件,那么存在c∈[a,b]使得f(c)=0也就是c是方程f(x)=0的根
综合以上两个条件可知,方程至少有一个正根且不超过a+b.
f（0）=b＞0,f（a+b）=asin（a+b)+b-(a+b)≤a+b-(a+b)=0分两种情况,当sin（a+b)=1时,f（a+b）=0,方程有一个正根x=a+b符合要求
sin（a+b)＜1时,f（a+b）＜0,符合零点定理条件,那么存在c∈[a,b]使得f(c)=0也就是c是方程f(x)=0的根
综合以上两个条件可知,方程至少有一个正根且不超过a+b.
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