f(x)=x^2在[a,b]上一致连续,但在(-无穷,+无穷)上不一致连续

Question

f(x)=x^2在[a,b]上一致连续,但在(-无穷,+无穷)上不一致连续

Answer 1

f(x)=x^2在[a,b]上连续,闭区间上连续函数是一致连续的,即f(x)在[a,b]上一致连续；
对于R上的一点x>0,考虑 x 和 x+1/n 这两个点,那么
|f(x+1/n)-f(x)|=|(x+1/n)^2-x^2|=2x/n+1/(n^2)|>2x/n
对于任意小的d>0,存在n,使得1/n|f(n+1/n)-f(n)|=2+1/(n^2)>2
所以 f(x)=x^2 在R上非一致连续.
综上所述,f(x)=x^2在[a,b]上一致连续,在R上不一致连续.