证明在n>=3时,2^n可以表成7x^2+y^2,其中x,y均为奇数.

Question

证明在n>=3时,2^n可以表成7x^2+y^2,其中x,y均为奇数.

Answer 1

证明 当 n=3时,2^3=8=7*1^2+1^2,结论成立.
设 2^n=7x^2+y^2,x,y为奇数.
由于2=7*(1/2)^2+(1/2)^2.所以得
2^(n+1)=(7x^2+y^2)*[7*(1/2)^2+(1/2)^2],(1)
上式可分解成下列两式:
2^(n+1)=7(x/2+y/2)^2+(7x/2-y/2)^2 (2-1)
2^(n+1)=7(x/2-y/2)^2+(7x/2+y/2)^2 (2-2)
由于x,y都是奇数,所以(x+y)/2,(7x-y)/2都是整数.
如果 (x+y)/2是奇数,则(7x-y)/2=4x-(x+y)/2 也是奇数;
如果 (x+y)/2是偶数,那么(x-y)/2=(x+y)/2-y是奇数,(7x+y)/2=3x+(x+y)/2也是奇数.
所以(2-1),(2-2)式就是我们所需要的表达式.证毕.