设a,b,c均大于零小于一,证明一减a的差乘以b,一减b的差乘以c,一减c的差乘以a不能都大四分之一

Question

设a,b,c均大于零小于一,证明 一减a的差乘以b,一减b的差乘以c,一减c的差乘以a不能都大
四分之一

Answer 1

假设（1-a）×b,（1-b）×c,（1-c）×a都大于1/4
则有（1-a）×b×（1-b）×c×（1-c）×a>1/64
可整理为（1-a）×a×（1-b）×b×（1-c）×c>1/64
然而（1-a）×a≤（1-a+a）^2/4=1/4(均值不等式）
同理得（1-b）×b≤（1-b+b）^2/4=1/4
（1-c）×c≤（1-c+c）^2/4=1/4
所以（1-a）×a×（1-b）×b×（1-c）×c≤1/64
与假设矛盾
所以假设不成立
所以3个不能都大于1/4
一般这种问题都是用反证法的